數學做為啟迪心智的重要工具

  • By Stand Media
  • 30 Nov, 2017
文︱史英  
圖片來源/Flickr Creative Commons 圖片作者/liuhsiaofen

但我還是跟她又說了一大堆︱你看,我並沒有只談國文。說了什麼呢?說這事情裡面有幾個要點:首先,「不懂道理就不可以用」這個教訓根本很難落實,請問滑手機的有幾人是懂得「滑」的道理呢?或曰,這訓條是用在數學裡的;但在查對數表的時候,有誰知道那個數值表是怎麼做出來的?或者,要找碴的話,有誰知道怎麼證明1+1=2 ? 

其次,考試不可以限制解題方法,除非試題上特別說明;所以反對小孩用公式是一回事,但在正確的答案上打叉是另一回事,更不用說拿「你不會證明」做理由了。這種做法本身就是不講道理,卻是以「要你懂道理」為理由,倒真是歸謬論證的好練習。所以,應該鼓勵小孩從這個角度去和學校老師爭論,目的不在分數,而是在,「要懂得道理」呀!

遇到老朋友,劈頭第一句話就是:怎麼最近都在談國文,忘了你的本業了嗎?我說:最好不要有任何「業」,姑不論本或不本。然後就想,咦,為什麼這個「業」通那個「業」、意思不同卻都是同一個字?糟糕,擺明了又是不務正業了;怎麼辦呢?既然被人點醒,那麼,那麼今天就來談一點──一點數學吧?

話說佳嘉老師,久不連絡,那天突然傳來一訊:

最近在上「圓」這個單元,一路從圓心角、圓周角、圓內角、講到圓外角,每個都要證明它和弧的關係。我也就一個一個的分別帶他們討論,先不看課本,只給一點點條件,讓他們猜想再反駁。這是我目前覺得教證明最好玩的方法了,學生也能用跟課本不一樣的方法證明,真是驚喜連連。

可是,考試題目基本上都必須「記得」結果,看到題目就要用上,只會證明沒有用;這時就像用背的了,那個反應變得奇怪,小範圍的段考還可以,但大考時就全忘了。還是不該貪快,每次要用的時候都在腦袋裡推導一次;但是,這樣不會連證明都淪為「背」嗎?

到底什麼才叫理解?理解和背的分際到底在哪裡?

看著她的文字,她們師生的課堂情境好像浮現在眼前;我不但深知她教學的奧妙,也有一點知道她仍然在擔心些什麼:人家只怕學生背不起來,她卻煩惱學生都背起來之後,好不容易建立的「理解」就不見了。所以,趕快回訊:

好久不見,剛才看到留言嚇一跳,因為我好久沒有開line,以為耽擱了沒有回妳,後來才發現是剛剛寄來的,巧吧?

當有一些 facts 比較複雜而彼此又關聯著的時候,就像現在講的圓心角等等和弧的關係,其實是應該有一個總整理,在心裡;那個意思說穿了,也就是,不但把一個公式背起來,而且是把幾個公式,以及其間的異同和關聯,都一起背下來!

背下來沒有什麼不對,不對的是,如果背取代了理解,取代了應有的好奇,取代了對事情的欣賞;反之,如果理解,好奇,欣賞乃至於激情都有了,那麼,不背下來才奇怪呢!因為,對於深有所感的事情,我們怎能不設法把它記住,而且是把相關聯的都一起記住呢?

假設A點、B點在圓上,O是圓心,AOB形成一個角;現在,把O往後拉,拉到新的點叫做O',∠AO'B當然就變小了,這是直觀上理所當然的事。那麼,合理的問題是,O'要多遠,才能使∠AO'B成為原來∠AOB的、例如說、一半呢?答案竟然是,只要把O'拉到圓周上就是了(圖一)。(也就一般說的「對等弧的圓周角是圓心角的一半」)。

這也未免太神奇了吧?更神奇的是,要維持這個一半,O'還可以移來移去,只要在圓周上移動──圓周是,動點維持對AB視角不變的軌跡。這整個事情太神奇,以至於即使不懂得證明也很難忘掉──所以,背起來乃是理所當然的事,更何況是懂了證明呢?

我們反對的,是以上所說的神奇都沒有,把公式都背下只是為了解題;這和上述的因為太神奇而難以忘懷,基本上沒有什麼目的,是完全不同的事。至於解題,在我們的脈絡下,是要測試那個難以忘懷的神奇的威力,或魔力;這和他們爭分數是完全不同的事。

所以,別怕,妳無論怎麼做,都和他們不同;事實上,如果是妳教的,即使妳叫學生默寫十遍,我都不認為有什麼不對──主要的,就是人對了啊!

這番對話不久之後,有數想老師來說她被小孩抗議了,問我怎麼辦?故事是:六年級正在教「比例」,有個小孩不知從哪兒學來「內項乘積=外項乘積」這個公式(即 a:b=c:d 等價於 ad=bc,但課本上沒有),考試時就用上了;學校老師說「你不能用沒有證明過的公式,因為這是死背不是理解」,他就跑來找數想老師,要求教他怎麼證明。但我們這位數想老師卻怎麼都不肯教他,跟他「盧」了半天,於是,就被抗議了。

我問:難道你是怕他學了證明回去找老師要分數?她說:那倒不是,我是希望小孩根本不要用那個公式,所以一直教他不用公式怎麼做題目。原來如此,還是那句老話:人對了,怎麼做都不會不對;至於被抗議嘛,用力撐著就好。

但我還是跟她又說了一大堆──你看,我並沒有只談國文。說了什麼呢?說這事情裡面有幾個要點:首先,「不懂道理就不可以用」這個教訓根本很難落實,請問滑手機的有幾人是懂得「滑」的道理呢?或曰,這訓條是用在數學裡的;但在查對數表的時候,有誰知道那個數值表是怎麼做出來的?或者,要找碴的話,有誰知道怎麼證明1+1=2 ?

其次,考試不可以限制解題方法,除非試題上特別說明;所以反對小孩用公式是一回事,但在正確的答案上打叉是另一回事,更不用說拿「你不會證明」做理由了。這種做法本身就是不講道理,卻是以「要你懂道理」為理由,倒真是歸謬論證的好練習。所以,應該鼓勵小孩從這個角度去和學校老師爭論,目的不在分數,而是在,「要懂得道理」呀!

但最重要的是,到底為什麼反對小孩用那個「內外項」公式呢?無論他懂不懂得證明。倒不是反對任何公式,也不反對將來用這個公式,而是因為在初學比例的時候,最重要的,是要掌握比例式的「神奇」,例如:邊長為3和4的長方形,和邊長為300和400的長方形,可以是同一個長方形,也許是用了不同的單位去量邊長;邊長成比例的圖形,看起來就很「相似」,除了大小不同,「樣子」根本就一樣,不知道我們為什麼會有這種感覺(關於這個問題,我要另寫一篇文章);還有,數量本身並不重要,重要的是數量和數量之間的關係(描述太陽系的時候,都是以地日距離為1單位,而當時的人根本不需要知道地日距離是多少)等等。

上述所有這些,都要透過運用比例的基本概念解題(例如從放大縮小的方向思考)來練習;一旦動用那個公式,一切都只剩下冰冷的計算,而數學做為「啟迪心智的重要工具」這個教育目標,就完全喪失了......

說到這裡,我就開始擔心自己有沒有把話說明白,或說得夠不夠「白」:有沒有為了求漂亮而修辭?有沒有為了顯學問而引經據典?有沒有為了隱藏真意而用話術?糟糕──怎麼又在談國文了?   

史英/人本教育基金會董事長
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「你為什麼坐著?還不快去巡邏!」
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