他也許比「李家同們」更有心胸--再談「怎麼討論1/2 + 1/3」

  • By Stand Media Public Account
  • 01 May, 2017
文︱史英  
攝影︱郭恆妙
圖片來源/Flickr Creative Commons 圖片作者/naosuke ii

…有人會說「要趕進度啊」,「小孩不肯想啊」…我們建議,先改變一下「自己是個工具」的心態,試著去欣賞小孩的「想法」,小孩就會「想」給你看了;至於進度云云,其實是一種取捨:一方面可以酌量捨去某些很佔時間的繁瑣演算,一方面也不一定要依照我前述每個細節進行(可以視情況濃縮討論過程)。總之,先把心打開一點吧!
          最後,還要回應一種留言,說我們是利用李家同賺點閱率。事實是,因為李家同團隊真的會影響很多小孩,我們於是真心希望他能「更懂得一點教育」,不要憑著一股熱心跑到偏鄉去,只會重複傳統的教法,反倒更強化了制式教育的為害

針對李家同的「 1/2+1/3 ,要孩子怎麼討論?」,「叫國中生討論是沒有意義的,因為他們根本不懂要怎麼討論」,我們製作了一支短片,就叫做 「讓我們告訴李教授要怎麼討論 1/2+1/3」 ;在短短一個禮拜之內,得到七十多萬次點閱,和七八百通的留言。這是我們第一次嘗試用「流行」的,也就是簡短、快捷、多畫面少論述的方式來說明一個概念,結果就是,雖然回響很大,但誤解也不少。現在,我試著做一些澄清;無奈的是,只怕那些真正需要澄清的人,大概也不耐煩看吧?

先來解決最簡單的問題:有些留言說「好難噢,大人都看不懂了,怎麼教小孩?」這很容易回答:不就說好是「告訴李教授…」嗎?那影片本來就是給大人看的,教小孩的時候,當然不能這樣三言兩語帶過(詳見「數想」相關章節)。連這麼明顯的區別都不能領會,應該也是這位「大人」看不懂的原因之一:從小就失去「想想」的能力,只能接受聽慣了的話語;面對新的東西,就無法有效提取其中的訊息--不然,這麼簡單的小學算術的話題,同不同意是一回事,怎麼可能「看不懂」呢?

另一種留言是說「講太多錯誤示範,小孩反而困惑」:這回不說自己不懂了,只是一口咬定小孩不懂;但沒有一個人提出證據,或描述小孩到底是怎麼「困惑」的--所以,這些都是純屬想像,用自己過去的經驗硬套在小孩的頭上。對大部份的人而言,數學就是一場惡夢;但人們只記得自己搞不懂,不會做,被責罵,其實並不記得自己搞不懂的到底是什麼:正是因為搞不懂,所以忘記了--人本來就記不住自己不理解的東西,不理解的痛苦倒很難忘得掉。

所以,教數學的人,最基本的任務,就是向小孩學習,學習他的困難之所在,然後嘗試用各種方法去協助他。這個過程,正是李家同所反對的「討論」:是在討論的一來一往的對話之中,我們可以和小孩的思路接軌。討論的目的,正是為了幫助小孩克服他的「不懂」;但李家同和李家同們,卻用小孩「不懂怎麼討論」做為理由,拒絕去「懂得」他們號稱要去解救的小孩。

這之間的落差到底是怎麼來的呢?讓我們進入教學的細節 (抽象語言只能帶來口水戰):一開始的時候,是先呈現「田」字圖形的1/4 (用陰影表示),加上另一個「田」字圖形的1/4 ,問小孩:這兩個「1/4 」加起來 (當然是先解釋過1/4的意思)會是多少?(影片中直接講1/2 +1/3 是為了配合李家同的說詞)

大膽一點的小孩會說是2/8(圖一),謹慎的小孩雖然沒出聲,也會露出「原來如此」的表情。在我們長年的教學經驗裡,這樣的反應,幾乎毫無例外,所以,這個「迷思」(即錯誤),並不是我們的「示範」,而是任何一個小孩自然會有的「想法」。那麼,一般的老師或家長為什麼很少發現小孩會有這樣的迷思呢?

因為,他們從來不問小孩的「想法」,只是急著「告訴」小孩應該怎麼做。「不要呈現錯誤的答案給學生看,學生就不會有誤解了嘛」這樣的留言,正是一種不自覺的「招認」:透過一再而三的「正確示範」,在小孩能「慎思,明辨」之前,他們就一舉否定掉小孩對於事物最直觀、最純樸、最貼近他內在感受的自然反應,也就是取消了「慎思,明辨」應該的對象;然後再反過來說,你看,小孩根本就不能、不願意「思考」啊,並加以引申,說學生「根本不懂怎麼討論」!(「討論」就是和別人分享、交換、並用心對比彼此的真實的感受)

有識之士都會痛砭「填鴨式教育」,但很少人知道,所謂「循循善誘」、「愛心耐心」、「回歸基本」(也就是「只教基本計算」) 式的教法,無論出發點多麼善良(就像李家同那樣),但因為不重視小孩的想法,特別是那些在大人看來天馬行空的想法(例如1/4+1/4 =2/8 ),其實仍然是一種填鴨--又因為填的方法充滿善意,鴨子就更沒有「回嘴」的餘地;在這同時,小孩就一步一步失去想像力、創造力、以及向未知世界前進的勇氣!

「通往地獄的路,往往是由善意鋪成的」,特別是一手拿聖經的人,無論另一手拿的是課本還是刀劍,都應該認真思考自己到底在做什麼。

然而,不論是否一手拿聖經,凡是面對小孩的人,都要非常謙虛。所以,當小孩「無辜」地展現他那2/8的迷思的時候,我們不是立即指出他的錯誤(好像引蛇出洞似的),而是要先肯定他的「無畏」:在聽從他人教導之前,能先嘗試自己解決問題。然後才慢慢解釋,人類的語言有一個不成文的約定:一句話中的角色,特別是那些沒有「指名道姓」的,應該都是同一個人物;例如,在「一出門就發現忘了車票,急急跑回去拿」這句話中,「忘了」和「去拿」的當然是同一個人,絕不能因為句中沒有指明,就可以偷天換日而變成兩個角色。同樣的道理,說1/4的時候,沒有指名道姓地說是「田字形的 」,但這「田字形」的角色是一直都在的;等到說「相加等於2/8」的時候,自然會被解釋為「田字形的2/8」,這就造成了誤解,因而就是一種錯誤的說法了。

我們會讓小孩知道,他的意思其實是:「田字形的1/4,再加上一個田字形的1/4,等於兩個田字形的2/8 」,這不但沒有錯,還真是意味深長--不細想的話,還不能體會你話中的玄機!但我們知道你的意思,只是,如果省略那「一個田字形」或「兩個田字形」的話,你的說法就不符合人類語言習慣!

這樣,小孩在明白自己錯在哪裡的同時,還知道自己對在哪裡,所以,並不會全盤否定自己。接下來,我們讓小孩練習造句;句中都不要提人名,也不說你、我或他,並讓大家討論聽到的人會怎麼理解(這一部份也是作文的練習,以去除「通篇都是他、他、他」的毛病)。然後,再讓小孩練習向別人解釋:1/5+2/5為什麼不是3/10,同時回家去問父母,看父母能不能像他那樣解釋的那麼清楚 (這是間接協助父母提升教養能力)。

等到以上這些都搞定了,下一課才是 1/2+1/3 的算法 (全世界都是先教「同分母加法」,再教「異分母加法」,只是多數人不知道「同分母」有什麼好教的)。這一次小孩會非常在乎「是什麼東西的1/2,什麼東西的1/3」,一開始,他們會以為兩個東西不一定要一樣,因為1/2, 和1/3是不同的分數啊,或者,前者是田字形的1/2,但後者可能就是圓餅的1/3 了(圖二)。這時候,我們會先讓小孩嚐試答案會是「什麼東西的2/5?」;發現「什麼的2/5」都不對的時候,就可以說明:數學通常只能解決簡化過的問題(在哲學上,這叫做「化約主義」),所以,我們只會處理「同一個東西的1/2和1/3相加」,因而答案也只能是「那個東西」的幾分之幾。

因為大前提是「同一個圓餅」,小孩會試著把1/2和1/3畫在同一個圓餅上--這是之前所打下的重要基礎:任何計算,都必須使用「同一個單位」;也可以說,之前所有的努力,就是為了引向這關鍵的一步。然後,重要的事情就發生了:他們很快就「看到」有一個缺口( 圓餅上1/2和1/3之外的部份),而那個「缺口」應該是「 1/2的1/3」,或「1/3的1/2」(圖三)--內行的人應該知道,這其實是「歐基里德輾轉相除法」的基本精神,但我們無法在此申論這一點!

於是,「1/6」這個神祕的分數就出現了。「通分」,這個從天上掉下來的絕技,對於我們的小孩而言,要不就是他自己發現的,要不就是在「討論」的過程裡自然而然出現的。於是,他覺得這個世界是「合理」的,是他可以掌握的,是他樂於在其間實現他的生命,並與他人共享的。教數學嗎?不,我們是在教「人」,使人成為一個人,而不是權威者的附庸,或幫兇!(如果分母是其它的數字,也許要換成「長方圖」才比較容易看出「公分母」〔圖四〕)

當然,又有人會說「要趕進度啊」,「小孩不肯想啊」我們建議,先改變一下「自己是個工具」的心態,試著去欣賞小孩的「想法」,小孩就會「想」給你看了;至於進度云云,其實是一種取捨:一方面可以酌量捨去某些很佔時間的繁瑣演算,一方面也不一定要依照我前述每個細節進行(可以視情況濃縮討論過程)。總之,先把心打開一點吧!

最後,還要回應一種留言,說我們是利用李家同賺點閱率。事實是,因為李家同團隊真的會影響很多小孩,我們於是真心希望他能「更懂得一點教育」,不要憑著一股熱心跑到偏鄉去,只會重複傳統的教法,反倒更強化了制式教育的為害--當然,這有一個前提:我們不可以預設李教授「不懂怎麼討論」。

關於這一點,其實是有「歷史」的。多年前,李家同在報紙上發文批評一道「判斷三點是否共線」的題目,說「怎可讓還沒學三角的國一生求直線斜率」,理由是「要先會算斜率,才能求出直線方程式」;我寫了一篇題為 「制式教育的為害」 的回應,把其中可能涉及的「新的教學」,就像這次一樣簡短地「告訴李教授…」。後來發現他在自編的「國中數學」的「序言」裡說,已經知道怎麼不用三角函數求出通過兩點的直線方程式(雖然我強調的是根本不需要先求方程式)。

這就可見,李家同很可能比某些「李家同們」更有心胸;「讓我們告訴李…」這個標題,其實是要表示,他,也許,還不是,完全沒有希望…

史英/人本教育基金會董事長
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By Stand Media Public Account 12 Sep, 2017
從動物園回來隔天,孩子們熱烈談論動物園裡的見聞。

談到動物們被對待的情形,孩子們發現—動物們並不快樂。當孩子們越理解動物的習性與生長的環境,就越明白在動物園裡看不到牠們原本的樣子。有一年級的小孩說,動物園裡的動物雖然過的不好,但至少有人餵東西給牠們吃,讓牠們不會餓死,如果動物園沒了,這些動物會更可憐…

By Stand Media Public Account 11 Sep, 2017
去台南度假這個決定看似理所當然,其實是經過縝密的考量。帶小孩出門本來就很麻煩,不只要帶大包小包,還要考慮交通方便(不能太遠,坐太久車嬰兒會哭鬧)、氣候宜人(不能太冷不能太熱)、景點有事情讓小孩做(不能只有大人喜歡的東西比如古蹟博物館)…
By Stand Media Public Account 08 Sep, 2017
就這麼慢慢地把整首英文詩推演討論完畢。最後,要進入重要的國語教學了。我發下兩個版本的中譯詩,都來自網路上的翻譯。請孩子們比較斟酌,A、B兩個譯本,哪個比較好?即使是英文詩,我們還是可以鍛鍊「國語」。
By Stand Media Public Account 08 Sep, 2017

我體會的蘇軾,和課文裡的這位,好像不是同一個人。印象中,他是個能哭能笑、能吃能喝、能批能判的漢子。不論新黨舊黨當朝,他永遠被掌權者討厭,幾乎終身被「完封」--貶謫!

孩子們第一次和蘇軾邂逅,要在哪一首詩?在腦海裡反覆斟酌後,我幫忙孩子們跟蘇軾相約,在〈定風波〉。
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